[JOB] PhD. – Multigrid algorithms tuning using AI for the solution of linear systems

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Etablissement : Université Paris‑Saclay GS Ingormatique et sciences du numérique

École doctorale : Sciences et Technologies de l’information et de la Communication

Spécialité : Informatique mathématique

Unité de recherche : Mdls – Maison de la Simulation

Encadrement de la thèse : Nahid EMAD PETITON

Co‑Directeur : Thomas DUFAUD

Description de la problématique de recherche – Project Description

La performance des simulateurs a un impact direct à la fois sur la qualité des résultats de simulation et sur la capacité d’explorer une grande variété d’hypothèses scientifiques. Dans un grand nombre de simulateurs numériques, la résolution de systèmes linéaires mal conditionnés constitue l’étape la plus consommatrice en temps de calcul (jusqu’à 80 % de la simulation). Les méthodes multigrilles, parmi les solveurs et préconditionneurs les plus efficaces, exigent un paramétrage optimal (algorithme de lissage, schémas de correction, opérateurs de restriction) qui dépend fortement du problème et influence sensiblement la convergence et le temps de calcul sur CPU, GPU ou TPU. L’expertise de l’utilisateur dans la sélection de ces paramètres est critique pour une utilisation optimale.

Le projet vise à concevoir et utiliser des techniques d’apprentissage afin de trouver automatiquement de meilleurs paramétrages pour la méthode multigrille algébrique, tant pour les problèmes linéaires que non linéaires en 2‑3 dimensions. Les domaines d’application ciblés sont la dynamique des fluides et l’écoulement en milieu poreux, incluant les modélisations fluide‑particules, géomécanique et séquestration du CO₂.

Contexte

La simulation numérique constitue un outil complémentaire aux études expérimentales permettant de comprendre finement les phénomènes physiques complexes et d’évaluer des solutions techniques innovantes. La résolution de systèmes linéaires issus de la discrétisation d’un problème de Poisson à coefficients variables, une opération clé dans l’étude de fluides (Darcy ou Navier‑Stokes), se fait souvent à l’aide de multigrilles algébriques (AMG). Chacune des étapes (smoothing, restriction, prolongation, cycles) comporte de nombreux paramètres dont le choix optimal dépend du problème physique.

Références

• (Briggs et al.) William Briggs, Van Henson et Steve McCormick. A Multigrid Tutorial, 2nd Edition, SIAM, 2000 ISBN: .
• (Huang et al.) Ru Huang, Ruipeng Li et Yuanzhe Xi. Learning optimal multigrid smoothers via neural networks , 2021 arXiv: v1.
• (Katrutsa et al.) Alexandr Katrutsa, Talgat Daulbaev et Ivan Oseledets. Deep Multigrid: learning prolongation and restriction matrices , 2017 arXiv: v1.
• (He et al.) Juncai He et Jinchao Xu. MgNet: A unified framework of multigrid and convolutional neural network , Sci. China Math., 2019. doi: /s -2.
• (Hsieh et al.) Jun‑Ting Hsieh, Shengjia Zhao, Stephan Eismann, Lucia Mirabella et Stefano Ermon. Learning Neural PDE Solvers with Convergence Guarantees , 2019 arXiv: v1.
• (Greenfeld et al.) Daniel Greenfeld, Meirav Galun, Ron Kimmel, Irad Yavneh et Ronen Basri. Learning to Optimize Multigrid PDE Solvers , ICML, 2019 arXiv: .
• (Luz et al.) Ilay Luz, Meirav Galun, Haggai Maron, Ronen Basri et Irad Yavneh. Learning Algebraic Multigrid Using Graph Neural Networks , 2020 arXiv: .

Objectifs

L’objectif principal du travail de thèse est de développer des méthodes d’apprentissage pour la résolution des systèmes linéaires préconditionnés issus de la discrétisation non structurée du problème de Poisson à coefficients variables, afin d’accélérer la convergence des algorithmes multigrilles sur des architectures matérielles hétérogènes.

Méthode – Plan de travail (4 étapes)

1. Etat de l’art des méthodes multigrilles améliorées par l’IA : inventaire des méthodes d’accélération de chaque étape des algorithmes multigrilles, évaluation de leur impact (taux de convergence, rayon spectral). Travaux initiaux sur maillages structurés (CNN) puis non structurés (GNN).
2. Conception d’un solveur linéaire multigrille hybride par composant : choix d’une méthode d’apprentissage pour accélérer chaque composant (smoother, opérateurs de projection, niveaux de grille, type de cycle). Entraînement indépendant des composants puis assemblage.
3. Conception d’un solveur linéaire multigrille global : optimisation globale des paramètres en enchaînant les étapes du solveur hybride dans un entraînement global.
4. Développement d’un framework général de solveur linéaire hybride : adaptation des méthodologies aux préconditionneurs basés sur déflation, décomposition de domaine ou multigrille, comparaison avec des méthodes existantes (Tang et al.).

Évaluation de l’efficacité

Les méthodes développées seront testées sur des applications industrielles (modélisations fluide‑particules, géomécanique, séquestration du CO₂). L’évaluation portera sur la rapidité, la généralisation à des paramètres variables (physique, géométrie, conditions aux bords) et la portabilité sur CPU, GPU et TPU.

Résultats attendus – Expected results

Production d’une solution logicielle intégrée dans des bibliothèques (TensorFlow, PyTorch, JAX) et interfacée avec Trilinos et AMGX pour offrir des références performantes sur CPU et GPU. Validation de la solution par des benchmarks expérimentaux dans la dynamique des fluides et l’écoulement en milieu poreux.