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Codes LRPC quantiques pour la correction de fautes dans les mémoires quantiques empilées / LRPC quantum correcting codes for memory faults in stacked memories

FRANCE

il y a 2 jours

Organisation/Company Université de Limoges Research Field Mathematics Researcher Profile Recognised Researcher (R2) Leading Researcher (R4) First Stage Researcher (R1) Established Researcher (R3) Application Deadline 31 Aug 2026 - 22:00 (UTC) Country France Type of Contract Temporary Job Status Full-time Is the job funded through the EU Research Framework Programme? Not funded by a EU programme Is the Job related to staff position within a Research Infrastructure? No

Offer Description

elfosse et Zémor (1) introduisent un modèle de mémoire quantique empilée (« stacked memory »), inspiré des mémoires flash multi-niveaux, où un même circuit de Clifford s'exécute en parallèle sur plusieurs couches de qubits regroupées en cellules. Leur Lemme 2 montre que t fautes de circuit induisent une erreur de Pauli dont le rang est borné par 4t, motivant l'usage de codes en métrique rang. Ils construisent une généralisation quantique des codes de Gabidulin (codes MRD), via une base normale trace-orthogonale et une construction CSS, obtenant un code de distance rang r+1 et de dimension n(n−2r). Ils identifient trois limites : absence de circuit tolérant aux pannes pour l'extraction de syndrome, absence de décodeur rapide, et suggèrent de généraliser plutôt les codes LRPC en métrique rang (2).

PropProblem statement. Gabidulin codes, optimaux au sens de Singleton, souffrent de deux limites classiques : rigidité des paramètres (distance rang fixée par n et k) et matrice de parité dense, coûteuse en extraction de syndrome tolérante aux pannes et incompatible avec un décodage local de type belief propagation. LRPC codes, analogues rang des LDPC, reposent sur une matrice de parité creuse dont les coefficients engendrent un sous-espace de petite dimension. Ils admettent un décodage probabiliste efficace et une grande flexibilité, au prix d'une probabilité d'échec non nulle mais contrôlable.

But de la thèse. Construire une famille de codes stabilisateurs CSS quantiques fondée sur des codes LRPC classiques, généralisant la construction de Delfosse–Zémor, et déterminer si cette famille répond aux limitations identifiées dans (1) : creux du syndrome, rapidité du décodage, flexibilité des paramètres.

Intérêts potentiels.

1 Extraction tolérante aux pannes : la structure creuse des matrices LRPC pourrait permettre des stabilisateurs de poids réduit, condition nécessaire à un circuit d'extraction peu bruité.
2 Décodage efficace : les algorithmes LRPC classiques (décodage combinatoire, résolution de systèmes linéaires) peuvent offrir une complexité inférieure aux décodeurs génériques en métrique rang.
3 Flexibilité des paramètres : contrairement aux Gabidulin, contraints par la structure MRD, les LRPC permettent d'ajuster indépendamment taux d'encodage et probabilité de décodage correct.
4 Lien avec l'existant : la construction CSS repose sur la dualité rang (Proposition 1 de (1)) et le produit scalaire trace, outils transposables aux codes LRPC qui possèdent une structure duale bien caractérisée (2).

Axes de travail. a) Définir une version CSS quantique des codes LRPC par analogie avec (1), établir dimension et distance rang minimale en fonction du sous‑espace support. b) Étudier la probabilité de décodage correct adaptée au bruit sur la mesure de syndrome (décodage approché). c) Concevoir un circuit d'extraction de syndrome exploitant la structure des stabilisateurs et évaluer sa tolérance aux pannes. d) Comparer performances (taux, distance, complexité) entre codes de Gabidulin et LRPC quantiques, sur le modèle de bruit empilé (Lemme 2 de (1)).

Retombées attendues. Une famille de codes quantiques en métrique rang à décodage efficace et paramètres flexibles, applicable au modèle de mémoire empilée, avec un chemin réaliste vers la tolérance aux pannes, répondant aux limitations de (1).

Mandre: You wait ..? (The following English description)

Delfosse and Zémor (1) introduce a 'stacked quantum memory' model, inspired by classical multi-level flash memories, where a single Clifford circuit runs in parallel across several layers of qubits grouped into cells. Their Lemma 2 shows that t circuit faults induce a Pauli error whose rank is bounded by 4t, motivating the use of rank-metric codes. They build a quantum generalization of Gabidulin codes (MRD codes), via a trace-orthogonal normal basis and a CSS construction, obtaining a code of rank distance r+1 and dimension n(n−2r). They identify three limitations: no fault‑tolerant circuit for syndrome extraction, no fast decoder, and they themselves suggest generalizing rank‑metric LRPC codes instead (2).

PropProblem statement. Gabidulin codes, optimal in the Singleton-bound sense, suffer from two well‑known classical limitations: rigid parameters (distance rang fixed by n and k) and a dense parity‑check matrix, which is costly for fault‑tolerant syndrome extraction and incompatible with local belief‑propagation decoding. LRPC codes, the rank‑metric analogue of LDPC codes, rely instead on a sparse parity‑check matrix whose coefficients span a small‑dimension subspace. They admit efficient probabilistic decoding and great parameter flexibility, at the cost of a nonzero but controllable failure probability.

Thesis goal. Build a family of quantum CSS stabilizer codes based on classical LRPC codes, generalizing the Delfosse–Zémor construction, and determine whether this family addresses the limits identified in (1) : sparse syndrome, fast decoding, parameter flexibility.

Potential interests.

1 Fault‑tolerant extraction: the sparse structure of LRPC matrices could enable reduced‑weight stabilizers, a necessary condition for a low‑noise extraction circuit.
2 Efficient decoding: classical LRPC algorithms (combinatorial decoding, solving linear systems) may offer lower complexity than generic rank‑metric decoders.
3 Parameter flexibility: unlike Gabidulin codes, constrained by the MRD structure, LRPC codes allow independently adjusting encoding rate and correct‑decoding probability.
4 Link to existing work: the CSS construction relies on rank duality (Proposition 1 of (1)) and the trace inner product, tools transferable to LRPC codes, which also have a well‑characterized dual structure (2).

Planned work. a) Define a quantum CSS version of LRPC codes by analogy with (1), establishing dimension and minimum rank distance as functions of the coefficient support subspace. b) Study the correct‑decoding probability adapted to noise on syndrome measurement (approximate decoding). c) Design a syndrome‑extraction circuit exploiting stabilizer structure and evaluate its fault tolerance. d) Compare performance (rate, distance, complexity) between quantum Gabidulin and LRPC codes under the stacked noise model (Lemma 2 of (1)).

Expected outcomes. A family of rank‑metric quantum codes with efficient decoding and flexible parameters, applicable to the stacked memory model, with a realistic path toward fault tolerance, addressing the limitations of (1).

(1) Delfosse, Zémor, Correction of circuit faults in a stacked quantum memory using rank‑metric codes, arXiv: . (2) Aragon, Gaborit, Hauteville, Ruatta, Zémor, Low Rank Parity Check Codes, IEEE Trans. Inf. Theory 65(12), 2019.

(2) Nicolas Aragon, Philippe Gaborit, Adrien Hauteville, Olivier Ruatta et Gilles Zémor:

Low Rank Parity Check Codes: New Decoding Algorithms and Applications to Cryptography IEEE Trans. Inf. Theory )